第0103章 正式开赛 (第1/1页)

    次日，八点半，国奥赛正式开始。

    选手们拿着零食、饮料、参考书、作图工具等，在规定的时间内纷纷走入考场。

    嗯，比赛是可以带食物和参考书的，毕竟比赛时间太长了，而这原本就是开卷考试。

    除了不能携带电子设备入场，其他的一切都像参加冬令营那样轻松写意。

    田立心手上却只拿了作图工具和一瓶水。

    走入考场后，田立心发现这教室一共有二十五位考生，每位考生的桌面上都插着一面国旗，这些考生基本都来自不同的国家。

    旁边坐的正是有前些天见过的宝岛女生，她也是教室里唯一的女生。

    左前方，是一位阿三选手。

    右前方，是一位俄国选。

    除了旁边的宝岛女生，周围坐的都是来自各大数学竞赛强国的人啊。

    不过，宝岛姑娘的桌上虽插着梅花五环旗，本质上，也同属于华夏这个竞赛强国嘛。

    时间一到，两位监考老师就将试卷分发了下来。

    拿到卷子后，旁边这位女生的脸色就不那么好看了。

    试卷是翻译过的，她的卷子上肯定也同为汉字。

    看不懂题，是不能用外语太差来背锅的。

    对田立心来说，第一道门槛题倒还真是送分题，他只略一思索就有了思路。

    这道题的题目是这样的，“对全体满足a，b，c，d，e≥-1，a b c d e=5的实数，求S=(a b)(b c)(c d)(d e)(e a)的最大值和最小值。”

    先设a b=A，b c=B，c d=C，d e=D，e a=E，S为五个数的乘积。

    讨论S的最大值时，ABCDE这五个数必为五个正数或有偶数个负数奇数个正数，这样的情况分为三种，即五个是正数，或一个正数四个负数，或三个正数两个负数。

    求S最小的最小值，则ABCED中的负数必为奇数个，其分别为五个负数，或三个负数两个正数，或一个负数四个正数。

    有了这个思路之后，解题步骤可以一蹴而就了。

    解：令a b=A，b c=B，c d=C，d e=D，e a=E，则ABCDE均大于-2，A B C D E=10。

    1，先讨论ABCDE都为正数的情况，由算数几何平均不等式可知，则S≤（（10/5）5=32。

    a=b=c=d=e=1时取等。

    当ABCDE中有一个正数四个负数时，设A>0，BCDE四个数都小于0。

    由B C<0可知，a≥5，

    又因为e≥-1，所以E≥4。

    与假设矛盾。

    舍去。

    当ABCDE为三个正数两个负数时，有相邻两个为负数或间隔出现负数这两种情况。

    两个负数相邻时，令A=B=-2。

    则C D E=(-1＋d) (d＋e) (e＋-1)=14

    即D=d e=8，而CE≤(C E)/4=(d e-2)/4=9当且仅当C=E=3时取等号，此时S=2×8×9=288.

    两个负数间隔出现时，令A，C<0取-2时，a，b，c，d=-1，B=b c<0

    与假设矛盾。

    舍去。

    综上，S≤288，当a=b=c=-1，d=e=4时取等。

    2，当ABCDE都为负数，那么ABCDE<0也成立，与A B C D E=10矛盾。

    舍去。

    当ABCDE有三个负数一个正数时，令ABC都为负数，则有A，B，C≥-2。

    由此得到D E≤16，CD的乘积≤64，。

    故有S≥64*(-2)(-2)(-2)≥-512，a=b=c=d=-1，e=9时取等。

    当ABCDE有一个负数四个正数时，令A为负数，取为0>A≥-2，

    BCDE≤（（10-A）/4）4≤81

    那么，S≥81*-2=-162。

    综上，S≥-512，a=b=c=d=-1，e=9时取等。

    ……

    田立心满意地看着稿纸上的答案，随后就抄到了卷子上。

    门槛题的7分，已经是妥妥的了。

    继续。

    第二道是平面几何题，“R和S是圆上非直径端点的两点，作T使得S为RT中点，J为RS劣弧上任意一点，△JST外接圆和R的切线交于一点A，AJ和RS所在圆交于另一点K，求证：KT与△JST外接圆相切。”

    田立心在草稿纸上画出图来，很快就有了解题思路。

    对华夏的学生来说，平面几何都是送分题！

    拿下这两道题，铜牌就已经算是到手了，但这离田立心的最终目标还很远很远。

    第三题。

    怎么还是几何？

    “一个猎人和一只隐形的兔子在欧氏平面上玩一个游戏。已知兔子的起始位置A0与猎人的起始位置B0重合，在游戏进行n-1回合后，兔子位于点An-1，猎人位于点Bn-1。在第n个回合中，以下三件事件依次发生。

    （1）兔子移动到点An，使得An-1与An的距离恰好为1。

    （2）一个定位设备向猎人反馈一个点Pn，该设备唯一能保证Pn与An之间的距离至多为1。

    (3)猎人移动到点Bn，并且满足Bn-1与Bn之间的距离恰好为1。

    试问：是否无论兔子如何移动，也无论定位设备反馈了哪些点，猎人总能够适当地选择它的移动方式，使得经过10的9次方轮游戏后，猎人与兔子之间的距离不超过100？”

    读完题，田立心凭直觉就知道答案是不可能了。

    但做数学题不能只凭直觉啊，写出答案却没写过程的，零分不能再多了。

    这题好像很难啊！

    模拟猎人追击隐形兔子的物理场景，应该是关键性的第一步。

    可以假设猎人和兔子在n个回合之后的距离S，必然存在0
    首先，第一次追踪设备报告点P1=A0，那么不管猎人如何移动，都有可能与兔子移动的方向相反，此时距离S=2。

    由于定位点的对称性，猎人于n步后到达的点Bs n有可能在直线BsAs的下方，也有可能在BsAs的上方。

    这道题，还需要考虑循环节N和最大方向偏差角。

    有了解题思路，田立心便开始在稿纸上画图了。

    怎么将自己的想法转化成数学语言才是关键。

    两个多小时后，田立心终于抬起了头，暗暗舒了口气，可算是把这道题解出来了！

    只是，左前方的阿三哥和右前方的俄国选手呢？

    都提前走人了？

    这两货这么强的吗？

    田立心也知道，有些国家虽不能拿到团队冠军，但总还是有一两个天才选手的。

    算你们厉害好吧！

    田立心将答案誊到卷子上，这才发现，离考试结束还有一个多小时呢。

    他仔细检查一遍，便站了起来。

    交卷！

    邻桌的那位宝岛女孩，此时还正绞尽脑汁地想着怎么破解第二道题呢。

    离开考场之后，田立心就在巡逻志愿者的护送下，很快就走出了警戒线之外。

    随后，他一眼就看到了站在不远处的，正翘首以待的齐教授和副教练。

    他们身边，已经有一位队员了。